Blog Toán Học Ứng Dụng

Tháng Sáu 11, 2009

Phương sai

Filed under: Bài viết lượm lặt, Xác suất — Thẻ:, — tranthevu @ 10:53 chiều

Định nghĩa

Nếu \mu = {E}(X) là giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, thì phương sai là

{var}(X) = E( {( X - \mu ) ^ 2} ).

Nghĩa là, phương sai là giá trị kỳ vọng của bình phương của độ lệch của X so với giá trị trung bình của nó. Nói nôm na, phương sai là “trung bình của bình phương khoảng cách của mỗi điểm dữ liệu tới trung bình”. Do đó, nó là giá trị trung bình của bình phương độ lệch. Phương sai của biến ngẫu nhiên X thường được ký hiệu là var(X), \sigma_X^2, hoặc đơn giản là \sigma^2 .

Lưu ý: định nghĩa trên áp dụng cho cả các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.

Nhiều phân phối, ví dụ như phân phối Cauchy, là không có phương sai, do tích phân có được từ định nghĩa phương sai là phân kỳ. Một phân phối không tồn tại giá trị kỳ vọng thì cũng không tồn tại phương sai. Nhưng điều ngược lại thì không đúng: có những phân phối mà giá trị kì vọng tồn tại nhưng không tồn tại phương sai.
Các tính chất

* Nếu phương sai tồn tại, thì nó không bao giờ âm, vì bình phương một số luôn dương hoặc bằng 0.
* Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên. Ví dụ, phương sai của tập hợp các chiều cao đo được tính theo centimet (cm) có đơn vị là cm bình phương. Đơn vị này gây bất tiện nên các nhà thống kê thường sử dụng căn bậc hai của phương sai, gọi là độ lệch chuẩn, coi như là tổng của các phân tán.
* Nếu a và b là các hằng số thực, X là một biến ngẫu nhiên, thì aX + b cũng là biến ngẫu nhiên với phương sai là:

var(aX+b)=a^2{var}(X) .

* Khi tính phương sai, để thuận tiện ta thường dùng công thức:

var(X)= E(X^2 - 2XE(X) + (E(X))^2) = E(X^2) - 2{(E(X))}^2 + {(E(X))}^2 = E(X^2) - {(E(X))}^2 .

* {var}(aX+bY) =a^2 {var}(X) + b^2 {var}(Y) + 2ab {cov}(X, Y) .

Với {cov} là hiệp phương sai, bằng 0 nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau.

Xấp xỉ phương sai của một hàm số

Phương pháp Delta sử dụng khai triển Taylor bậc hai để xấp xỉ phương sai của hàm số của một hay nhiều biến ngẫu nhiên. Ví dụ, phương sai của hàm số theo một biến ngẫu nhiên được xấp xỉ bởi:

{var}\left[f(X)\right]\approx \left(f'({E}\left[X\right])\right)^2{var}\left[X\right]

với giả thiết f(\cdot) khả vi bậc hai, trung bình và phương sai của X là hữu hạn (tức tồn tại).

Phương sai của tổng thể chung và phương sai mẫu

Trên nhiều tình huống thực tế, giá trị chính xác của phương sai của một tổng thể, kí hiệu bởi σ2 là không thể xác định trước được.

Phương pháp chung để ước lượng phương sai của một tổng thể (hữu hạn hoặc vô hạn) là ta sẽ lấy một mẫu hữu hạn các cá thể từ quần thể. Giả sử rằng mẫu thu được có các giá trị đo được là x_1,\dots,x_N .

Phương sai của mẫu (gọi tắt là phương sai mẫu) (x_1,\dots,x_N) , được tính bởi:

\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left(x_i - \overline{x} \right)^ 2 ,

trong đó \overline{x} là số bình quân số học của mẫu.

Tuy nhiên, \hat{\sigma^2} là một ước lượng chệch (biased) của phương sai quần thể. Ước lượng sau là một ước lượng không chệch (unbiased) của phương sai quần thể:

s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N \left(x_i - \overline{x} \right)^ 2 ,

Chứng minh 1

Phần sau đây chứng minh s^2 là một ước lượng không chệch của phương sai quần thể. Một ước lượng \hat{\theta} của tham số \theta được gọi là ước lượng không chệch nếu {E}\{ \hat{\theta}\} = \theta .

Kí hiệu μ và \theta^2 lần lượt là trung bình và phương sai của quần thể. Để chứng minh s^2 là ước lượng không chệch, ta sẽ chứng minh rằng E{ s^2} = \sigma^2 . Ta có:

E (s^2)  = E \left\{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n E \left\{ \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n {E} \left\{ \left( (x_i - \mu) - (\overline{x} - \mu) \right) ^ 2 \right\}

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ {E} \left\{ (x_i - \mu)^2 \right\} - 2 E \left\{ (x_i - \mu) (\overline{x} - \mu) \right\} + {E} \left\{ (\overline{x} - \mu) ^ 2 \right\} \right\}

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \sigma^2 - 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n {E} \left\{ (x_i - \mu) (x_j - \mu) \right\} \right) + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n {E} \left\{ (x_j - \mu) (x_k - \mu) \right\} \right\}

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \sigma^2 - \frac{2 \sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2}{n} \right\}

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \frac{(n-1)\sigma^2}{n}

= \frac{(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2

Chứng minh 2

Ta cũng có thể chứng minh bằng cách sau:

E\left[ \sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})^2}\right] =E\left[ \sum_{i=1}^n {x_i^2}\right] - nE[ \overline{x}^2]

=nE[x_i^2] - \frac{1}{n} E\left[\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2\right]

=n({var}[x_i] + (E[x_i])^2) - \frac{1}{n} E\left[\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2\right]

=n\sigma^2 + \frac{1}{n}(nE[x_i])^2 - \frac{1}{n}E\left[\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2\right]

=n\sigma^2 - \frac{1}{n}\left( E\left[\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2\right] - \left(E\left[\sum_{i=1}^n x_i\right]\right)^2\right)

=n\sigma^2 - \frac{1}{n}\left({var}\left[\sum_{i=1}^n x_i\right]\right) =n\sigma^2 - \frac{1}{n}(n\sigma^2) =(n-1)\sigma^2 .

Phương sai của véc tơ ngẫu nhiên

Nếu X là một véc tơ ngẫu nhiên, xác định trên R^n , thì phương sai của X được xác định bởi:

E[(X-\mu )(X-\mu )^{T}]

với \mu = E(X)X^T là ma trận chuyển vị của X . Phương sai này là một ma trận vuông xác định dương. Nó thường được gọi là ma trận hiệp phương sai.

About these ads

1 Phản hồi »

  1. cau hoi 1) ta co the hieu EX la mot tich phan voi do do xac suat P , neu gia thiet cho X kha tich thi EX se bi huu han , neu kg co the la vo cuc
    2) chua chac vi dieu kien la F(x) kha vi moi duoc

    Phản hồi bởi tranthevu — Tháng Tám 27, 2010 @ 6:33 chiều


RSS cho phản hồi của bài viết này. TrackBack URI

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

The Shocking Blue Green Theme. Tạo một website miễn phí hoặc 1 blog với WordPress.com.

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: